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Ajout de capicúas

Ajout de capicúas

Juan voulait ajouter tous les numéros de capicúa à quatre chiffres mais a oublié d'en ajouter un.

Quel numéro avez-vous oublié si la somme obtenue était de 490776?

Solution

Nous essaierons de trouver un raccourci pour ajouter tous les capicúas que Juan aurait dû ajouter, puis nous soustraireons le montant qu'il a obtenu. Cela déterminera lequel a cessé d'ajouter.

Comme nous devrions écrire l'un sur l'autre tous les capicúas à quatre chiffres, la première chose que nous devrions considérer est un système par lequel nous nous assurons de les avoir tous et ensuite comptons le nombre de chiffres de chaque classe que nous avons utilisés.

Le premier et le dernier nombre de chaque capicúa (celui des unités et celui des milliers d'unités) doivent être égaux et ne peuvent pas être nuls, car le nombre serait considéré comme ayant seulement trois chiffres. Donc, pour le premier chiffre, nous avons neuf possibilités. Les deuxième et troisième, qui sont également égaux, peuvent valoir n'importe quel nombre, y compris zéro, nous avons donc dix possibilités.

Si vous regardez, alors, lorsque vous les mettez dans une colonne (qui sera très élevée), chacune des neuf figures des unités apparaîtra répétée dix fois (car, si nous en définissons une, nous ne pouvons écrire que dix capicúas différentes), de sorte que le la somme de cette colonne sera (1 + 2 +… + 9) * 10 = 10 * (1 + 9) * 9/2 = 450. Je place un 0 dans les unités de la somme, et je prends 45.

Dans la colonne des dizaines, cependant, dix figures différentes apparaîtront, mais répétées chacune neuf fois. La somme sera 9 * (0 + 1 +… + 9) = 9 * (9 + 0) * 10/2 = 405. À ce chiffre, nous devons ajouter les 45 que nous prenons, ce qui nous donne un total de 450. encore une fois, nous mettons un zéro et nous obtenons 45.

Dans la colonne des centaines, la somme sera exactement la même que celle des dizaines, qui pour cela ce sont des capicúas, et donnera à nouveau 405. Comme nous avons pris 45, elle revient pour donner 450, encore 0 et nous prenons 45.

Dans la dernière colonne, celle des mille unités, la somme est identique à celle des unités, 450. Si l'on ajoute les 45 mille unités restantes des centaines, nous avons 495, qui sont le nombre définitif d'unités de nous en avons mille.

Au total, la somme devrait donner 495000. Comme Juan avait calculé 490776, on voit que la différence est exactement 4224, comment pourrait-il en être autrement, c'est la capicúa et c'est celle qui manquait.